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Forum - Formation de BTS CPI et Examen - démonstration


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actif  Sujet n° 429

le 17/04/2008 @ 03h30
par ninou

ninou

3 messages

Bonjour,
Pourriez-vous me montrer la démonstration du moment quadratique d'un triangle svp?
Je sais que le résultat est:
IGx= (bh^3)/36
IGy= (hb^3)/36
mais comment faire pour en arriver là?
Que dois-je prendre comme valeur pour les départs et les arrivées des intégrales?cry
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Réponse n° 1
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le 17/04/2008 @ 04h31
par Webmaster

Webmaster

Administrateur
173 messages

Bonjour. C'est extrêmement laborieux, j'ignore pourquoi vous vous intéressez à la démonstration de ces expressions...

Pour vous répondre malgré tout, pour une au moins de ces relations, il faut évidemment partir de la relation générale du moment quadratique.

Avec un triangle d'axe de symétrie (G;y), avec G à la cote 0 en z, de base b de hauteur h, il faut intégrer y²dS, soit y²dydz sur toute la surface du triangle.

Vu que l'expression de la fonction à intégrer ne dépend finalement que de y (de y² en clair, pas de z), il suffit, pour chaque y, d'exprimer la valeur de la largeur 2zmax d'une "bande" très étroite, de hauteur dy. Ensuite, il faudra balayer la surface S avec cette bande de largeur 2zmax variable, de y=-h/3 à y=+2h/3. G est en effet situé aux 2/3 de la hauteur : on peut admettre ce résultat, tout de même...

La largeur 2zmax du triangle, pour une valeur y, est nécessairement une fonction affine de y, avec notamment zmax(y=+2h/3)=0 (sommet) et zmax(y=-h/3)=b/2 (base). Accessoirement, on peut remarquer que zmax(y=0)=2b/3...

Ca donne, quelle que soit la méthode : zmax(y)=-b/2h.(y-2h/3). On vérifie bien zmax(y=2h/3)=0...

Il reste "juste" à intégrer y²dS, soit y².2zmax(y).dy, pour y variant entre y=-h/3 à y=+2h/3, comme déjà dit plus haut.

Là entre en jeu la "soupe mathématique" ô combien intéressante en ce qui nous concerne, nous, mécaniciens de l'extrême ...

IGz=Intégrale(y=-h/3 à y=+2h/3) de -b/h.(h-2h/3).y².dy

= -b/h.Intégrale(y=-h/3 à y=+2h/3) de (h-2h/3).y².dy

= -b/h.Intégrale(y=-h/3 à y=+2h/3) de (y³-2h/3.y²).dy

= -b/h.Primitive(y=-h/3 et y=+2h/3) de (y^4/4-2h/3.y³/3) pas très joli, je sais...

= -b/h.Primitive(y=-h/3 et y=+2h/3) de y³.(y/4-2h/9) là, je demande pardon à mes étudiants à qui je dis que ça ne sert à rien de factoriser, simplifier, pour le principe de simplifier... c'était plus fort que moi : toute une culture à refaire...

= -b/h.Primitive(y=-h/3 et y=+2h/3) de y³.(y/4-2h/9)

= ....

On trouve bien IGz=bh³/36.

Mais cela fait deux siècles et demi qu'on ne "s'amuse" plus à calculer ce genre de choses... ces données sont fournies par les constructeurs pour les profilés et barres standard... et on dispose de logiciels qui permettent de passer outre ce genre d'exercice de style.

Je vous laisse le plaisir de chercher l'autre, c'est-à-dire IGy.


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Réponse n° 2
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le 17/04/2008 @ 05h11
par ninou

ninou

4 messages

effectivement cela m'a l'air bien complexe.
Merci pour votre aide tout de même, je vais relire tout cela à tête reposé car vous m'avez donné mal au crâneconfused
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